python实现三次样条插值


						本文实例为大家分享了python实现三次样条插值的具体代码，供大家参考，具体内容如下

函数：



算法分析

三次样条插值。就是在分段插值的一种情况。

要求：



  在每个分段区间上是三次多项式（这就是三次样条中的三次的来源）

  在整个区间（开区间）上二阶导数连续（当然啦，这里主要是强调在节点上的连续）

  加上边界条件。边界条件只需要给出两个方程。构建一个方程组，就可以解出所有的参数。

  



这里话，根据第一类样条作为边界。（就是知道两端节点的导数数值，然后来做三次样条插值）

但是这里也分为两种情况，分别是这个数值是随便给的一个数，还是说根据函数的在对应点上数值给出。

情况一：两边导数数值给出

这里假设数值均为1。即 f′(x0)=f′(xn)=f′(xn)=1的情况。

情况一图像





情况一代码





import numpy as np

from sympy import *

import matplotlib.pyplot as plt





def f(x):

 return 1 / (1 + x ** 2)





def cal(begin, end, i):

 by = f(begin)

 ey = f(end)

 I = Ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + Ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - Ms[i] / 6) * (end - n) + (

  ey - Ms[i + 1] / 6) * (n - begin)

 return I





def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]

 ans = 0

 for i in range(len(x)):

 temp = 1

 for j in range(len(x)):

  if i != j:

  temp *= (x[i] - x[j])

 ans += f(x[i]) / temp

 return ans





def calM():

 lam = [1] + [1 / 2] * 9

 miu = [1 / 2] * 9 + [1]

 # Y = 1 / (1 + n ** 2)

 # df = diff(Y, n)

 x = np.array(range(11)) - 5

 # ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]

 ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]

 for i in range(9):

 ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))

 # ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))

 ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))

 Mat = np.eye(11, 11) * 2

 for i in range(11):

 if i == 0:

  Mat[i][1] = lam[i]

 elif i == 10:

  Mat[i][9] = miu[i - 1]

 else:

  Mat[i][i - 1] = miu[i - 1]

  Mat[i][i + 1] = lam[i]

 ds = np.mat(ds)

 Mat = np.mat(Mat)

 Ms = ds * Mat.I

 return Ms.tolist()[0]





def calnf(x):

 nf = []

 for i in range(len(x) - 1):

 nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))

 return nf





def calf(f, x):

 y = []

 for i in x:

 y.append(f.subs(n, i))

 return y





def nfSub(x, nf):

 tempx = np.array(range(11)) - 5

 dx = []

 for i in range(10):

 labelx = []

 for j in range(len(x)):

  if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:

  labelx.append(x[j])

  elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]:

  labelx.append(x[j])

 dx = dx + calf(nf[i], labelx)

 return np.array(dx)





def draw(nf):

 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

 x = np.linspace(-5, 5, 101)

 y = f(x)

 Ly = nfSub(x, nf)

 plt.plot(x, y, label='原函数')

 plt.plot(x, Ly, label='三次样条插值函数')

 plt.xlabel('x')

 plt.ylabel('y')

 plt.legend()



 plt.savefig('1.png')

 plt.show()





def lossCal(nf):

 x = np.linspace(-5, 5, 101)

 y = f(x)

 Ly = nfSub(x, nf)

 Ly = np.array(Ly)

 temp = Ly - y

 temp = abs(temp)

 print(temp.mean())





if __name__ == '__main__':

 x = np.array(range(11)) - 5

 y = f(x)



 n, m = symbols('n m')

 init_printing(use_unicode=True)

 Ms = calM()

 nf = calnf(x)

 draw(nf)

 lossCal(nf)



情况二：两边导数数值由函数本身算出

这里假设数值均为1。即 f′(xi)=S′(xi)(i=0,n)f′(xi)=S′(xi)(i=0,n)的情况。

情况二图像



情况二代码







import numpy as np

from sympy import *

import matplotlib.pyplot as plt





def f(x):

 return 1 / (1 + x ** 2)





def cal(begin, end, i):

 by = f(begin)

 ey = f(end)

 I = Ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + Ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - Ms[i] / 6) * (end - n) + (

  ey - Ms[i + 1] / 6) * (n - begin)

 return I





def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]

 ans = 0

 for i in range(len(x)):

 temp = 1

 for j in range(len(x)):

  if i != j:

  temp *= (x[i] - x[j])

 ans += f(x[i]) / temp

 return ans





def calM():

 lam = [1] + [1 / 2] * 9

 miu = [1 / 2] * 9 + [1]

 Y = 1 / (1 + n ** 2)

 df = diff(Y, n)

 x = np.array(range(11)) - 5

 ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]

 # ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]

 for i in range(9):

 ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))

 ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))

 # ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))

 Mat = np.eye(11, 11) * 2

 for i in range(11):

 if i == 0:

  Mat[i][1] = lam[i]

 elif i == 10:

  Mat[i][9] = miu[i - 1]

 else:

  Mat[i][i - 1] = miu[i - 1]

  Mat[i][i + 1] = lam[i]

 ds = np.mat(ds)

 Mat = np.mat(Mat)

 Ms = ds * Mat.I

 return Ms.tolist()[0]





def calnf(x):

 nf = []

 for i in range(len(x) - 1):

 nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))

 return nf





def calf(f, x):

 y = []

 for i in x:

 y.append(f.subs(n, i))

 return y





def nfSub(x, nf):

 tempx = np.array(range(11)) - 5

 dx = []

 for i in range(10):

 labelx = []

 for j in range(len(x)):

  if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:

  labelx.append(x[j])

  elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]:

  labelx.append(x[j])

 dx = dx + calf(nf[i], labelx)

 return np.array(dx)





def draw(nf):

 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

 x = np.linspace(-5, 5, 101)

 y = f(x)

 Ly = nfSub(x, nf)

 plt.plot(x, y, label='原函数')

 plt.plot(x, Ly, label='三次样条插值函数')

 plt.xlabel('x')

 plt.ylabel('y')

 plt.legend()



 plt.savefig('1.png')

 plt.show()





def lossCal(nf):

 x = np.linspace(-5, 5, 101)

 y = f(x)

 Ly = nfSub(x, nf)

 Ly = np.array(Ly)

 temp = Ly - y

 temp = abs(temp)

 print(temp.mean())





if __name__ == '__main__':

 x = np.array(range(11)) - 5

 y = f(x)



 n, m = symbols('n m')

 init_printing(use_unicode=True)

 Ms = calM()

 nf = calnf(x)

 draw(nf)

 lossCal(nf)



以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持中文源码网。